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ASINTOTI CURVILINEI
Il termine asintoto, deriva dal greco a-sym-ptōtos, dove a- ha un valore privativo, mentre sym-ptōtos è composto da sym-, "con", e ptōtos, un aggettivo che connota ciò che "cade". Dunque sym-ptōtos descrive ciò che "cade assieme", ovvero ciò che "interseca", e a-sym-ptōtos etimologicamente descrive ciò che "non interseca": l'asintoto di una funzione è dunque una curva che si avvicina indefinitamente ad una funzione data, senza mai toccarla.
Una curva, appunto. Poichè non necessariamente un asintoto dev'essere una retta. Oltre agli asintoti rettilinei (e in questo caso si parla di asintoti verticali, orizzontali e obliqui) è infatti possibile incontrare anche asintoti parabolici, cubici, etc. Queste non sono altro che curve, dunque non rette, ma appunto parabole, cubiche, etc., e la nostra funzione data, piuttosto che avvicinarsi sempre più ad una retta, ovvero piuttosto che avere un comportamento asintotico rispetto ad una retta, avrà un comportamento asintotico rispetto ad una diversa curva (per esempio una parabola) avvicinandosi ad essa senza mai toccarla.
Degli esempi chiariranno tutto.
ASINTOTI RETTILINEI
Una funzione algebrica o trascendente y=f(x) ha un asintoto verticale x=a quando vale uno (o entrambi) dei seguenti limiti:
La retta di equazione può essere asintoto verticale ascendente o discendente a seconda che tenda a più infinito o a meno infinito. In generale la ricerca degli asintoti verticali per una funzione si effettua calcolando i limiti destro e sinistro (o uno di questi).
Un esempio è il logaritmo di Nepero (y= ln(x)): x=0 è un asintoto verticale per la funzione, ma questa tende soltanto a meno infinito (non a più infinito) e solo da destra, in quanto a sinistra di zero la funzione non esiste.
La funzione può avere infiniti asintoti verticali (Un esempio è la funzione tangente) e l'esistenza di uno di questi non esclude la presenza di altri tipi di asintoti. Il calcolo per la loro ricerca va sempre effettuato per i valori della funzione esclusi dal campo d'esistenza della stessa.
Si possono dunque verificare i seguenti casi:
La funzione y= f(x) ha un asintoto orizzontale y=a quando vale il seguente limite:
Una funzione può al massimo avere due asintoti orizzontali. Non ne potrà avere alcuno se questa è periodica o se è limitata ad un certo intervallo (Dunque, possiamo affermare a priori che la funzione tangente non avrà alcun asintoto orizzontale perché periodica). L'esistenza di un asintoto orizzontale esclude l'asintoto obliquo e viceversa perché al crescere della x la funzione può tendere all'infinito in un unico modo.
Una funzione algebrica o trascendente y=f(x) ha un asintoto obliquo quando sono finiti i limiti
E l’equazione dell’asintoto è: y=mx+q
Per le funzioni algebriche razionali fratte (cioè quelle costituite dal rapporto fra due polinomi), ciò significa che una funzione del tipo y= (f(x))/(g(x)) (con il numeratore di grado n ed il denominatore di grado d) ammette l’esistenza di un asintoto obliquo quando n-d=1, cioè quando il numeratore è un polinomio di un grado superiore al grado del polinomio a denominatore.
In quest'ultimo caso, quella di una funzione razionale fratta, un rapido metodo per ricercare l'asintoto obliquo è effettuare la divisione tra il polinomio al numeratore e quello al denominatore. Il resto che uscirà dalla divisione sarà proprio l'equazione del nostro asintoto obliquo.
Fin qui la teoria degli asintoti che è generalmente nota a tutti.
Ma nel caso in cui una funzione non dovesse avere né asintoto orizzontale né asintoto obliquo, non è detto che la ricerca degli asintoti debba necessariamente concludersi. La funzione può infatti tendere non ad una retta, bensì ad una curva generica.
Vediamo ora cosa avviene se una funzione algebrica razionale fratta ha il numeratore di 2, 3 o più gradi superiore al grado del denominatore, cioè se n-d=2, n-d=3 ecc.
ASINTOTI PARABOLICI
Nel caso in cui n-d=2 si ha (con evidente generalizzazione del criterio precedente):
e l’asintoto è una parabola con equazione y=ax^2+bx+c
ASINTOTI CUBICI
Nel caso in cui sia invece n-d=3 si ha in modo analogo:
e l’asintoto è una cubica di equazione y=ax^3+bx^2+cx+d
(E così via per valori maggiori di n-d.)
Ecco esempi che chiariranno tutto:
Edited by ~Mark™ - 29/3/2013, 19:41
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